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完全數:是一些特殊的自然數

完全數(Perfect number),又稱完美數或完備數,是一些特殊的自然數:它所有的真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身,完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

以古氏積木演示完全數6
例如:第一個完全數是6,它有因數1、2、3、6,除去它本身6外,其餘3個數相加,{\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}{\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6},恰好等於本身。第二個完全數是28,它有因數1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其餘5個數相加,{\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}{\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28},也恰好等於本身。後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是盈數。
完全數的發現 編輯
古希臘數學家歐幾里得是通過{\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}2^{{n-1}}\times (2^{n}-1) 的表達式發現前四個完全數的。

當{\displaystyle n=2:}{\displaystyle n=2:}{\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}{\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}
當{\displaystyle n=3:}{\displaystyle n=3:}{\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}{\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}
當{\displaystyle n=5:}{\displaystyle n=5:}{\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}{\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}
當{\displaystyle n=7:}{\displaystyle n=7:}{\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}{\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}
一個偶數是完美數,若且唯若它具有如下形式:{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}2^{{n-1}}(2^{n}-1),其中{\displaystyle 2^{n}-1}2^{n}-1是質數,此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。

比如,上面的{\displaystyle 6}6和{\displaystyle 28}28對應著{\displaystyle n=2}n=2和{\displaystyle 3}3的情況。我們只要找到了一個形如{\displaystyle 2^{n}-1}2^{n}-1的質數(即梅森質數),也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是{\displaystyle 12p+1}12p+1或{\displaystyle 36p+9}36p+9的形式,其中{\displaystyle p}p是質數。

首十個完全數是(OEIS A000396):

6(1位)
28(2位)
496(3位)
8128(4位)
33550336(8位)
8589869056(10位)
137438691328(12位)
2305843008139952128(19位)
2658455991569831744654692615953842176(37位)
191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)
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俗話說:人多力量大,柴多火燄高?最後老話一句:千萬別有幸入寶山,卻空手而回,希望這篇能提供你充份的燃料,與充份的智慧。
對了,小畢我也不是什麼「大師」,只是一個在農村長大的「庄腳崧」;小畢我也不是「花豹」,而是一個獨來獨往的「台灣虎斑犬」,喜賭成性,哈哈哈^^


》小 畢 陪 您 閱 讀 生 活 中 的 好 文 章《