| 完全數：是一些特殊的自然數 |

完全數〔PerfectNumber〕，又稱：完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子〔即除了自身以外的因數〕的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是〔6〕，它有因數：1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，{\display style {{{1}+{2}}+{3}}=6}{\display style {{{1}+{2}}+{3}}=6}，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有因數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，{\display style {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}{\display style {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現
古希臘數學家歐基里德是運用{\display style 2^{n-1}\times(2^{n}-1)}2^{{n-1}}\times(2^{n}-1)的表達式發現前四個完全數的。

當{\display style n=2:}{\display style n=2:}{\display style {{{2}^{1}}\times{\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}{\display style {{{2}^{1}}\times{\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}
當{\display style n=3:}{\display style n=3:}{\display style {{{2}^{2}}\times{\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}{\display style {{{2}^{2}}\times{\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}
當{\display style n=5:}{\display style n=5:}{\display style {{{2}^{4}}\times{\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}{\display style {{{2}^{4}}\times{\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}
當{\display style n=7:}{\display style n=7:}{\display style {{{2}^{6}}\times{\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}{\display style {{{2}^{6}}\times{\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}

一個偶數是完美數，若且唯若它具有如下形式：{\display style 2^{n-1}(2^{n}-1)}2^{{n-1}}(2^{n}-1)，其中{\display style 2^{n}-1}2^{n}-1是質數，此事實的充分性由歐基里德證明，而必要性則由歐拉所證明。

例如：上面的{\display style 6}6和{\display style 28}28對應著{\display style n=2}n=2和{\display style 3}3的情況。我們只要找到了一個形如{\display style 2^{n}-1}2^{n}-1的質數〔即梅森質數〕，也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是{\display style 12p+1}12p+1或{\display style 36p+9}36p+9的形式，其中{\display style p}p是質數。

首10個完全數是：

6〔1位數〕
28〔2位數〕
496〔3位數〕
8,128〔4位數〕
33,550,336〔8位數〕
8,589,869,056〔10位數〕
137,438,691,328〔12位數〕
2,305,843,008,139,952,128〔19位數〕
2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176〔37位數〕
191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216〔54位數〕

或許生活中的一切都取決於我們向哪個方向看，多視角才能呈現生命的真象？

不同的視角，有不同的看法？欲窺全貌，就無法只停留在某一視角。就像我們無法停留在某一時間點，讓青春永駐。

歡迎來和小畢研讀「生活與智慧」這門課。