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| 這個問題已被用於密碼攻擊方法 |

如果在一個房間要多少人,則兩個人的生日相同的機率要大於50%?答案是23人。這就意味著在一個典型的標準小學班級(30人)中,存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人,這種機率要大於99%。這個問題有時也被稱做「生日悖論」,但從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論,它被稱作悖論只是因為這個數學事實與一般直覺相牴觸而已。大多數人會認為,23人中有2人生日相同的機率應該遠遠小於50%。計算與此相關的機率被稱為生日悖論,在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法:生日攻擊。

某一天,在一班約莫有30名學生的課堂上,老師突然提到:「我們來玩個小賭局。只要課堂的現場上,#有任何兩位同學的生日是同一天的,就算老師贏;如果沒有任何人的生日是相同的,就算老師輸。如果老師輸了,就請全班喝飲料,如果老師贏,下次上課時,全班不准有人遲到。」假如您剛好是這一個班上的同學,您賭不賭?

直覺上,這個賭局似乎對全班同學很有利,看來飲料是喝定了。畢竟課堂上只有30位同學,但對應到生日,一年卻有365天,兩個人同一天生日應該很低。因為遇到同一天生日的機率為1/365,或0.002739。這機率也太小了吧,這也是在生活中,一旦您遇上到一個和您同一天生日的人,往往會讓您感慨,這也太巧了?

然而,事實上,這場#違反直覺的賭局,老師贏的機率可是高達70%,這就是俗稱的「#生日悖論〔Birthday Paradox〕」。

生日悖論是奧地利數學家麥澤斯〔Richardvon Mises〕,於1939年針對「#資料儲存技術」所發表的論文。大致的內容以數學方式來說:若有一個均勻的映射函數將23個不同、屬於整數集的數,映射到〔1、365〕時,兩個數映射到同一位置的機率為0.5073(>0.5)。因此,可知利用散列儲存技術查尋儲存器時,難免會發生碰撞。

翻譯成白話文的意思為:「如果一間屋子裡,有23個人以上,其中2人同一天生日的機率,會大於1/2」。

要算出背後的機率觀念上不難。以30位同學為例:先計算30位同學生日都不相同的機率,第一位同學的生日有365種可能;第二位同學的生日有364種可能(因為生日要不同),第三位同學的生日有363種可能,以此類推,第30位同學生日有336種可能。

所以,30位同學生日都不同的機率為,365​×364​×363​×…​×336​÷365的30次方,大約是30%。所以班上至少有兩位同學生日相同的機率為1-30%等於70%。

從公式來看,所有人的生日都不相同的機率為:P=365​×364​×…​×(365-N+1)365N

根據這項公式,n等於23人時,兩人同一天生日的機率1-P(補集),已經為50.7%,意思是,教室內只要有超過23名同學,老師贏的機率已經超過一半;當n一旦來到30人時,1-P為70.6%;而n等於50人時,1-P為97.0%;當n等於60人時,1-P為99.4%。

其實,生日悖論往往在提醒我們,「#直覺」通常是不可靠的,而且統計學很重要。因此在做決策時,要儘可能地蒐集資料,並對資料進行分析,以利理性決策的進行。還有,就是#千萬不要跟老師對賭,因為輸的機率很高。下次上課您就得乖乖地提早來?
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俗話說:人多力量大,柴多火燄高?最後老話一句:千萬別有幸入寶山,卻空手而回,希望這篇能提供你充份的燃料,與充份的智慧。
對了,小畢我也不是什麼「大師」,只是一個在農村長大的「庄腳崧」;小畢我也不是「花豹」,而是一個獨來獨往的「台灣虎斑犬」,喜賭成性,哈哈哈^^


》小 畢 與 您 分 享 生 活 中 的 好 文 章《